Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0

(5)

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(6)

De afgeleide is:

\dot{T}(t) = -\frac{1}{\tau}(T(0) - T_0)\mathrm{e}^{-t/\tau}

(7)

Substitutie in de differentiaalvergelijking

-\tau\dot{T} = -\tau \left[-\frac{1}{\tau}(T(0) - T_0)\mathrm{e}^{-t/\tau}\right] = (T(0) - T_0)\mathrm{e}^{-t/\tau} = T(t) - T_0

(8)

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon\sigma{A}(T^4 - T_0^4)

(9)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta{T} = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon\sigma{A}((T_0+\Delta{T})^4 - T_0^4) \approx\epsilon\sigma{4A}T_0^3\Delta{T}

(10)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Schrijf eerst $(T_0 + \Delta T)^4$ uit:

T_0 + \Delta{T}^4 = T_0^4 + 4T_0^3\Delta{T} + 6T_0^2\Delta{T^2} + 4T_0\Delta{T^3} + \Delta{T^4}

(11)

Substitutie in de stralingswarmtestroom geeft:

\dot{Q}_s = \epsilon\sigma{A}\big[(T_0 + \Delta{T})^4 - T_0^4\big] = \epsilon\sigma{A}\big[4 T_0^3\Delta{T} + 6T_0^2\Delta{T^2} + 4T_0 \Delta{T^3} + \Delta{T^4}\big]

(12)

Voor kleine $\Delta T$ kunnen we de hogere-orde termen verwaarlozen:

\dot{Q}_s\approx{4\epsilon\sigma{A}T_0^3\Delta{T}}

(13)

dus is het warmtetransport ongeveer lineair en kan $h_\text{straling} = 4\epsilon\sigma{T_0^3}$ als constante worden gebruikt.

De relatieve fout door de lineaire benadering is:

\text{fout}\approx\frac{6T_0^2\Delta{T^2} + 4T_0\Delta{T^3} + \Delta{T^4}}{4T_0^3\Delta{T}} = \frac{3\Delta{T}}{2T_0} + \frac{\Delta{T^2}}{T_0^2} + \frac{\Delta{T^3}}{4T_0^3}.

(14)

Voor $\Delta T \ll T_0$ is de eerste term dominant:

\text{Relatieve fout}\sim\frac{3}{2}\frac{\Delta{T}}{T_0}.

(15)

Bijvoorbeeld, voor $T_0 \approx 300$ K en $\Delta T \approx 10$ K:

\text{Relatieve fout}\sim\frac{3}{2}\frac{10}{300} = 0.05 = 5\%.

(16)

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

De dop kan zorgen dat de lucht minder makkelijk langs de binnenwanden komt. Dit zorgt ervoor dat de binnenoppervlakken minder effectief werken bij eht overdragen van hitte, want de lucht heeft minder plekken om naar binnen en naar buiten te komen. Het maakt wel uit hoe de buis is georienteerd. Als de as naar boven is gericht zal meer warmte worden overgedragen omdat de warme lucht snel naar boven gaat waardoor meteen meer koude lucht naar binnen wordt gezogen (zoals bij een schoorsteen).

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

buitenoppervlak = 0.008 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 118.957 # bepaal de warmtecapaciteit in J/kgK
m = 0.2531 #kg
T_omg = 22.5+273.15 #K, dit kan nu ook in de fit gedefinieerd worden voor een nauwkeuriger resultaat

def exp_func(t, A, tau):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  


times = np.array([0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180]) #s
temps = np.array([49.8, 49, 47.3, 46.4, 43.7, 42.5, 41.9, 40.7, 39.7, 39.2, 38.3, 37.5, 36.8])+273.15 #K



# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[50, 1000], bounds=([0,0],[np.inf,np.inf]), maxfev=5000)

A_exp, tau_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg))

plt.legend()
plt.savefig("Figuren/koelbuis.png", dpi=450)
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print(f"warmteoverdrachtscoëfficiënt:{h_exp:.3f} W/m^2 K")

warmteoverdrachtscoëfficiënt:56.218 W/m^2 K

Discussie en conclusie¶

Er was niet genoeg tijd om klassikaal te vergelijken, wij hebben maar met 1 andere waarde kunnen vergelijken. Die was negatief, maar dat kan fysisch niet (h beschrijft hoe warmte van een warm object naar een koude omgeving stroomt), maar hun fit was ook ongeveer een rechte lijn, en hun waarde was heel klein.

De enige stof die de warmte goed kwijt kon was lucht, want de klem was geisoleerd. Lucht is niet een goed geleider, dus de bijdrage van geleiding was waarschijnlijk relatief klein. de bijdrage van straling is:

h_{\text{straling}} = 4\epsilon\sigma{T_0^3}

(17)

waarbij $\sigma = 5.67\times{10^{-8}}$ en $T_0$ is rond 300K. Daar komt ongeveer 10% van het totaal uit.

Convectie van de lucht langs de buis is de grootste bijdrage, omdat er een stroming ontstaat door de buis waarbij koude lucht wordt aangezogen door de warme lucht die stijgt.